1.1. OPERASI BINER
Operasi biner pada himpunan tidak
kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk
menyatakan operasi biner adalah +, x, *, · , Å , Ä , dan sebagainya. Hasil dari sebuah
operasi, misalnya Ä
, pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.
Contoh
1.1.
Operasi
berikut adalah beberapa contoh operasi biner :
-. Operasi pembagian pada bilangan
riil.
-.
Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.
-. Operasi biner Å yang didefinisikan sebagai a Å b = a +
b – 2ab.
1.2. SIFAT OPERASI BINER
Sifat-sifat
yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat
yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut
akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.
Misalkan *
dan Å
adalah operasi biner. Operasi * dikatakan :
-. KOMUTATIF , jika a * b = b * a, untuk setiap a, b.
-. ASOSIATIF, jika (a * b) * c
= a * (b * c), untuk setiap a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS,
jika terdapat e sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS
KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1 * a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS
KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a * e2 = a, untuk setiap
-.
Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap
a terdapat a-1 sedemikian hingga a * a-1 = a-1 * a
= e, dimana e adalah elemen identitas
untuk operasi *. a-1 disebut invers
dari elemen a.
-.
DISTRIBUTIF terhadap operasi Å , jika untuk setiap a, b, c berlaku
a *
(b Å c ) = (
a *
b) Å (a * c)
dan (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).
Contoh 1.2.
Operasi
biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena
untuk sembarang bilangan x dan y
berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan
bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z).
Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk
sembarang bilangan p adalah –p, karena
p+(-p)=0.
Contoh 1.3.
-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi
penjumlahan, karena untuk setiap bilangan
a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif
terhadap operasi perkalian, karena terdapat
p, q dan r
dimana p + (q x r) ¹ (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4)
¹ (2 +
3) x (2 + 4).
Himpunan S
dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner *
, jika untuk setiap a, b Î S berlaku a *
b Î S
Contoh 1.4.
-. Himpunan bilangan
bulat Z
tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y Î Z berlaku x + y Î Z.
-. Himpunan bilangan bulat Z
tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3 Î Z dimana 2 : 3 Ï Z.
Soal
Latihan 1.1.
1. Tunjukkan
bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. Tunjukkan
bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan
2.
3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner * didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi
biner yang didefinisikan sebagai berikut :
a. a * b = a + b + 3.
b. a * b = a + b – 2ab.
c. a * b = a + 2b.
d. a
* b =
max (a,b).
4. Misalkan
(A,*)
sebuah sistem aljabar dengan *
operasi biner dimana untuk setiap a,b Î A berlaku a * b =
a. Tunjukkan bahwa *
bersifat asosiatif.
|
a. Tentukan b Å d, c Å d dan (a Å d) Å c.
b.
Apakah operasi Å bersifat komutatif ?.
c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk
operasi Å.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar